Lớp 11 - Toán học - Nâng cao Giải bài 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 trang 220, 221, 222 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 49 trang 220 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a. \(y = {{{x^4}} \over 2} + {{5{x^3}} \over 3} - \sqrt {2x} + 1\)
b. \(y = {{{x^2} + 3x - {a^2}} \over {x - 1}}\) (a là hằng số)
c. \(y = \left( {2 - {x^2}} \right)\cos x + 2x\sin x\)
d. \(y = {\tan ^2}x + \tan {x^2}\)
Giải
a. \(y' = 2{x^3} + 5{x^2} - {1 \over {\sqrt {2x} }}\)
b. \(y' = {{\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x - {a^2}} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2x + {a^2} - 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
c. \(y' = - 2x\cos x - \left( {2 - {x^2}} \right)\sin x + 2\sin x + 2x\cos x \)
\(= {x^2}\sin x\)
d. \(y' = 2\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + 2x\left( {1 + {{\tan }^2}{x^2}} \right)\)
Câu 50 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
a. Chứng minh rằng \({\left( {{1 \over {{x^n}}}} \right)'} = - {n \over {{x^{n + 1}}}},\) trong đó n ϵ N*
b. Với x ≠ 0 và n ϵ N*, ta đặt \({x^{ - n}} = {1 \over {{x^n}}}.\) Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong câu a với công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và nêu nhận xét.
Giải:
a. Ta có: \(\left( {{1 \over {{x^n}}}} \right)' = - {{\left( {{x^n}} \right)'} \over {{x^{2n}}}} = {{ - n{x^{n - 1}}} \over {{x^{2n}}}} = - {n \over {{x^{n + 1}}}}\)
b. Ta có: \(\left( {{x^{ - n}}} \right)' = - n{x^{ - n - 1}}\) (Theo a)
Nhận xét : Công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) đúng với mọi giá trị nguyên của n (chú ý rằng khi n ≤ 0 thì chỉ có thể xét đạo hàm trên \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\))
Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)
a. \(y=\sin x,\;y'''\)
b. \(y = \sin x\sin 5x,{y^{\left( 4 \right)}}\)
c. \(y = {\left( {4 - x} \right)^5},{y^{\left( n \right)}}\)
d. \(y = {1 \over {2 + x}},{y^{\left( n \right)}}\)
e. \(y = {1 \over {2x + 1}},{y^{\left( n \right)}}\)
f. \(y = {\cos ^2}x,{y^{\left( {2n} \right)}}\)
Giải:
a.
\(\begin{array}{l}
y' = \cos x\\
y" = - \sin x\\
y''' = - \cos x
\end{array}\)
b.
\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 6x} \right)\\
y' = - 2\sin 4x + 3\sin 6x\\
y" = - 8\cos 4x + 18\cos 6x\\
y'" = 32\sin 4x - 108\sin 6x\\
{y^{\left( 4 \right)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x
\end{array}\)
c.
\(\begin{array}{l}
y' = - 5{\left( {4 - x} \right)^4}\\
y" = 20{\left( {4 - x} \right)^3}\\
y"' = - 60{\left( {4 - x} \right)^2}\\
{y^{\left( 4 \right)}} = 120\left( {4 - x} \right)\\
{y^{\left( 5 \right)}} = - 120\\
{y^{\left( n \right)}} = 0\,\left( {\forall n \ge 6} \right)
\end{array}\)
d.
\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{{x + 2}} = {\left( {x + 2} \right)^{ - 1}}\\
y' = - 1{\left( {x + 2} \right)^{ - 2}}\\
y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^{ - 3}},...
\end{array}\)
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
\({y^{\left( n \right)}} = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - n} \right).{\left( {x + 2} \right)^{ - n - 1}}\)
\(= {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{n!}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}}}\)
e.
\(\begin{array}{l}
y = {\left( {2x + 1} \right)^{ - 1}}\\
y' = \left( { - 1} \right)\left( {2{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right)\\
y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){.2^2}{\left( {2x + 1} \right)^{ - 3}},...
\end{array}\)
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
\({y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\)
f. Ta có:
\(\begin{array}{l}
y' = - \sin 2x\\
y" = - 2\cos 2x\\
y"' = {2^2}\sin 2x\\
{y^{\left( 4 \right)}} = {2^3}\cos 2x\\
{y^{\left( 5 \right)}} = - {2^4}\sin 2x\\
{y^{\left( 6 \right)}} = - {2^5}\cos 2x,...
\end{array}\)
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
\({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{.2^{2n - 1}}\cos 2x\)
Câu 52 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính vi phân của hàm số \(y = {1 \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}}\) tại điểm \(x = {\pi \over 6}\) ứng với \(\Delta x = {\pi \over {360}}\) (tính chính xác đến hàng phần vạn).
Giải:
Ta có: \(df\left( x \right) = {{ - 2\left( {1 + \tan x} \right){1 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^4}}}.\Delta x = {{ - 2\Delta x} \over {{{\cos }^2}x{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}}\)
Suy ra: \(df\left( {{\pi \over 6}} \right) = {{ - 2.{\pi \over {360}}} \over {{{\cos }^2}{\pi \over 6}{{\left( {1 + \tan {\pi \over 6}} \right)}^3}}} = {{ - \pi } \over {180.{3 \over 4}{{\left( {1 + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)}^3}}}\)
\(\approx - 0,0059\)
Câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :
a. Biết tung độ tiếp điểm bằng 2
b. Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành
c. Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - {1 \over 8}x + 3\)
d. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)
Giải:
a. \(f'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x\) .Ta có \(2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x_0^2 = 1} \cr {x_0^2 = - 3\,\left( \text{loại} \right)} \cr } \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1} \right.\)
* Với x0 = 1 ta có \(f'\left( 1 \right) = {4.1^3} + 4.1 = 8\)
Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :
\(y - 2 = 8\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = 8x - 6\)
* Với x0 = -1 ta có \(f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) = - 8\)
Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :
\(y - 2 = - 8\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = - 8x - 6\)
b. Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 thỏa :
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x_0} = 0\,\,\left( {{y_0} = - 1} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : \(y - \left( { - 1} \right) = 0\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = - 1\)
c. Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng \(y = - {1 \over 8}x + 3,\) nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :
\(\eqalign{ & y' = 8 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x - 8 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)
Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là : \(y = 8x – 6\)
d. Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) của đồ thị (C) là :
\(\eqalign{ & y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) \cr & \Leftrightarrow y = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr} \)
Vì tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm A(0 ; -6) nên ta có :
\(\eqalign{ & - 6 = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr & \Leftrightarrow 3x_0^4 + 2x_0^2 - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow x_0^2 = 1\Leftrightarrow{x_0} = \pm 1 \cr} \)
Theo câu a, phương trình của hai tiếp tuyến cần phải tìm lần lượt là :
\(y = 8x - 6;\;y = - 8x -6\)
Cách 2 : Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6
Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho :
\(\left\{ {\matrix{ {f\left( x \right) = kx - 6} \cr {f'\left( x \right) = k} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{x^4} + 2{x^2} - 1 = kx - 6} \cr {4{x^3} + 4x = k} \cr } } \right.\)
Khử k từ hệ trên ta được : \(3{x^4} + 2{x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Suy ra \(k = ± 8\).
Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : \(y = 8x - 6;\;y = - 8x -6\)
Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số \(y = {1 \over {x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.
Giải
Với mọi x ≠ 1, ta có : \(y' = - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{1 \over {{x_0} - 1}}} \right)\) (với \({x_0} \ne 1\) ) là : \(y = - {1 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {1 \over {{x_0} - 1}}\)
Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có
hoành độ xA thỏa mãn : \({{{x_A} - {x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1\)
và cắt trục tung tại điểm B có tung độ yB là :
\({y_B} = {{{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + {1 \over {{x_0} - 1}} = {{2{x_0} - 1} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)
Ta có:
\(\eqalign{ & {S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow {1 \over 2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 2 \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {3 \over 4} \cr} \)
Suy ra : \({y_0} = {1 \over {{3 \over 4} - 1}} = - 4.\) Vậy điểm phải tìm Mo có tọa độ là \(\left( {{3 \over 4}; - 4} \right)\)
Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai y = P(x) đã bị xóa đi, chỉ còn lại trục đối xứng ∆, điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h. 5.8). Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị (P).
Giải:
Đa thức phải tìm có dạng : \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)
Ta có: \(P'\left( x \right) = 2ax + b\)
Vì trục đối xứng (∆) có phương trình x = 1 nên : \( - {b \over {2a}} = 1\,\,\left( 1 \right)\)
Vì đồ thị (P) đi qua điểm A(3 ; 0) nên ta có P(3) = 0, tức là:
\(9a + 3b + c = 0\,\,\left( 2 \right)\)
Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A(3 ; 0) bằng \(\tan {\pi \over 4}\) nên ta có \(P’(3) = 1\), tức là :
\(6a + b = 1\,\left( 3 \right)\)
Giải hệ ba phương trình (1), (2) và (3) với ba ẩn số a, b và c, ta được :
\(\eqalign{ & a = {1 \over 4} \cr & b = - {1 \over 2} \cr & c = - {3 \over 4} \cr} \)
Vậy \(P\left( x \right) = {1 \over 4}{x^2} - {1 \over 2}x - {3 \over 4}\)
Câu 56 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho parabol (P) : \(y = {x^2}.\) Gọi M1 và M2 là hai điểm thuộc (P), lần lượt có hoành độ là x1 = -2 và x2 = 1.
Hãy tìm trên (P) một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M1M2. Viết phương trình của tiếp tuyến đó.
Giải:
Các điểm M1 và M2 có tọa độ là M1(-2 ; 4); M2(1 ; 1)
Hệ số góc của cát tuyến M1M2 là \(\tan \varphi = {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{4 - 1} \over { - 2 - 1}} = - 1\)
Vì tiếp tuyến tại điểm \(C\left( {{x_0};x_0^2} \right)\) song song với cát tuyến M1M2 nên ta có :
\(y'\left( {{x_0}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2{x_0} = - 1 \Leftrightarrow {x_0} = {{ - 1} \over 2},\)
Suy ra tọa độ của điểm C là \(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right)\)
Vậy phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
\(y = \left( { - 1} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {1 \over 4} \Leftrightarrow y = - x - {1 \over 4}\)
Câu 57 trang 222 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(S = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2,\) ở đó, t > 0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m)
a. Tính vận tốc tại thời điểm t = 2
b. Tính gia tốc tại thời điểm t = 3
c. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0
d. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0.
Giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
s' = 3{t^2} - 6t - 9\\
s" = 6t - 6
\end{array}\)
a. Vận tốc tại thời điểm t = 2 là : v = s’(2) = -9 m/s
b. Gia tốc tại thời điểm t = 3 là : a = s”(3) = 12 m/s2
c.
\(\begin{array}{l}
v = s' = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\\
a\left( 3 \right) = s"\left( 3 \right) = 12\,m/{s^2}
\end{array}\)
d.
\(\begin{array}{l}
a = s" = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\
v\left( 1 \right) = s'\left( 1 \right) = - 12\,m/s
\end{array}\)
congdong.edu.vn